数论工具箱

质数判断 · 质因数分解

Miller-Rabin + Pollard-Rho

输入一个正整数 n（≤ 24 位可分解，≤ 40 位可判素）。完整分析包含：判素、分解、φ(n)、因数个数与和。

整数 n

结果

欧拉函数 φ(n)

与 n 互素的数的个数

φ(n) = n·∏(1 − 1/p)，其中 p 取遍 n 的不同质因子。输入正整数 n（≤ 24 位）。

整数 n

结果

扩展欧几里得 · GCD · LCM

裴蜀恒等式

求 gcd(a, b)、lcm(a, b)，并给出裴蜀恒等式 ax + by = gcd(a, b) 的一组整数解（含完整辗转相除步骤）。支持大整数与负数。

整数 a

整数 b

结果

线性同余方程 ax ≡ b (mod m)

含模逆元

设 d = gcd(a, m)：d ∤ b 时无解；否则恰有 d 个模 m 不同余的解。gcd(a, m) = 1 时解唯一，即 x ≡ b·a⁻¹ (mod m)。

系数 a

常数 b

模数 m（正整数）

结果

中国剩余定理（CRT）

支持非两两互素

求解同余方程组 x ≡ aᵢ (mod mᵢ)。模数不要求两两互素——会自动做一致性检查；无解时明确指出矛盾位置。

结果

模幂运算 bᵉ mod m

快速幂 · 支持负指数

快速幂（二进制平方法）。指数为负时自动求 b 的模逆元（须 gcd(b, m) = 1）。支持百位大整数。

底数 b

指数 e（可为负）

模数 m（正整数）

结果

原根与乘法阶

ord_n(a) · 最小原根

a 模 n 的阶是最小的 k ≥ 1 使 aᵏ ≡ 1 (mod n)，须 gcd(a, n) = 1。g 是模素数 p 的原根当且仅当其阶为 p−1。

底数 a（求阶时填写）

模数 n（≤ 24 位）

列出全部原根（≤ 500 个）

结果

勒让德 / 雅可比符号 · 二次剩余

Tonelli-Shanks 开方

勒让德符号 (a/p) 判断 a 是否为模奇素数 p 的二次剩余；雅可比符号 (a/n) 为其对奇合数 n 的推广。还可求解 x² ≡ a (mod p)。

a

p 或奇数 n（正）

结果

离散对数 aˣ ≡ b (mod p)

BSGS 大步小步

求最小的 x ≥ 0 使 aˣ ≡ b (mod p)，p 为素数（p ≤ 10¹²，BSGS 内存随 √p 增长）。须 gcd(a, p) = 1。

底数 a

值 b

素数模 p

结果

素数表 · π(n) · 第 n 个素数

埃氏筛

生成 ≤ N 的全部素数（N ≤ 5,000,000）；或求第 k 个素数（k ≤ 100,000）。结果可一键复制。

上限 N

k（求第 k 个素数）

结果

进制转换

2 ~ 36 进制 · 大整数

数字字符集为 0-9、a-z（不区分大小写）。支持任意长度整数，常用于进制相关的同余与编码计算。

数值

源进制

目标进制

结果

平方同余 x² ≡ a (mod m)

Hensel 提升 + CRT

任意模数 m（≥ 2，≤ 24 位）：自动分解为素数幂，奇素数幂用 Tonelli-Shanks + Hensel 提升，2 的幂用特判提升，最后 CRT 组合出全部解（超过 256 个时只报数量）。

a

模数 m

结果

二项同余 xᵏ ≡ a (mod p)

原根 + 指数法

p 为素数（≤ 10¹²）。取原根 g 后化为线性同余 k·t ≡ ind_g(a) (mod p−1)，解数 = gcd(k, p−1)（整除时）。

次数 k（≥ 1）

a

素数模 p

结果

一次不定方程 ax + by = c

整数解 · 非负解

有解 ⟺ gcd(a, b) | c。给出特解与通解，并可枚举全部非负整数解（摘荔枝问题、百钱买百鸡等）。

a

b

c

枚举非负解（≤ 100 组）

结果

佩尔方程 x² − D·y² = 1

连分数法

D 为正的非完全平方数（≤ 9 位）。用 √D 的循环连分数求最小解，并给出负佩尔方程 x² − D·y² = −1 的可解性与递推生成的后续解。

D

结果

连分数与最佳逼近

有理数 · √n · 渐进分数

三种模式：有理数 p/q 展开为有限连分数；√n 展开为循环连分数（展示循环节）；把连分数串还原为最简分数。均列出渐进分数（最佳逼近）与误差。

模式

分子 p / 被开方数 n / 连分数串

分母 q（仅有理数模式）

渐进分数个数（≤ 60）

结果

梅森素数 M_p = 2^p − 1

Lucas-Lehmer 判定

输入指数 p（≤ 5000）。p 为合数时 M_p 必为合数（给出因子）；p 为素数时用 Lucas-Lehmer 测试精确判定，比通用素性测试更有教学价值。

指数 p

结果

素数分布 · 孪生素数 · 哥德巴赫

π(x) 曲线

π(x) 曲线：蓝线为真实素数计数，灰线为主项近似 x/ln x（N ≤ 2,000,000）。孪生素数统计 N ≤ 5,000,000。哥德巴赫：任意偶数 n ≥ 4 给出一组拆分，n ≤ 10⁶ 时统计全部拆分数。

范围 N

偶数 n（哥德巴赫拆分）

结果

伪素数与 Carmichael 数

Fermat / Euler / 强伪素数

对给定底数 a 检测 n 的「伪装程度」：费马伪素数（aⁿ⁻¹ ≡ 1）、欧拉伪素数（与雅可比符号一致）、强伪素数（单基 Miller-Rabin）；并用 Korselt 判据（无平方因子且 ∀p|n 有 p−1 | n−1）判定 Carmichael 数。

n（Carmichael 判定需 ≤ 24 位）

底数 a（≥ 2）

结果

数论函数全家桶

μ · λ · σₖ · φ 反问题

一次算出：φ(n)、τ(n)、σ(n)、μ(n)、λ(n)、ω(n)、Ω(n)、rad(n)，并判断平方无关 / 完全数 / 亲和数。φ 反问题：给定 m 找出所有满足 φ(n) = m 的 n。

n（≤ 24 位）

k（σₖ 的指数，0~100）

m（φ 反问题，m ≤ 10¹²）

结果

阶乘与勒让德公式

v_p(n!) · 末尾零 · 位数

勒让德公式 v_p(n!) = Σ ⌊n/pⁱ⌋。支持：单个素数指数、n! 完整素因子分解（n ≤ 10⁶）、任意进制末尾零个数、n! 十进制位数（n ≤ 10¹²）、n! 精确值（n ≤ 5000）。

n

素数 p（求 v_p 时填写）

进制 b（末尾零，2 ~ 10⁶）

结果

组合数论

C(n,k) · 卡特兰 · 卢卡斯 · 分拆数

精确大数：C(n, k)（结果 ≤ 5000 位）、卡特兰数 Cₙ。卢卡斯定理求 C(n,k) mod p（n、k 可上百位，p 素数 ≤ 10⁶）。分拆数 p(n)（n ≤ 5000）。

n

k

素数 p（卢卡斯定理，≤ 10⁶）

结果

质数工具	输入 n：「质数判断」用 Miller-Rabin 素性测试（< 2⁶⁴ 为确定性结果，更大则为高概率）；「质因数分解」用试除 + Pollard-Rho（建议 ≤ 24 位）；「所有因数」列出全部正因数（超过 2000 个时截断）；「相邻素数」给出 n 两侧最近的素数；「完整分析」一次输出以上全部及 φ(n)、因数个数 τ(n)、因数和 σ(n)。
素数表	埃氏筛生成 ≤ N 的素数（N ≤ 5×10⁶）；π(N) 只给个数；「第 k 个素数」用 Rosser 上界先定界再筛（k ≤ 10⁵）。列表过长时仅显示前 500 个，「复制」始终复制完整内容。
素数分布	绘制 π(x) 与近似 x/ln x 对比曲线（N ≤ 2×10⁶）；孪生素数对统计与列举（N ≤ 5×10⁶）；哥德巴赫拆分：任意 ≤ 40 位偶数给出一组 p+q 拆分，N ≤ 10⁶ 时枚举全部拆分。
梅森素数	Lucas-Lehmer 测试精确判定 M_p = 2^p − 1（指数 p ≤ 5000）。p 为合数时直接给出因子 2^q − 1（q 为 p 的最小质因子）。
伪素数	对底数 a 依次执行费马测试、欧拉测试（对比雅可比符号）、单基强测试，指出 n 是否为对应的伪素数；并用 Korselt 判据（无平方因子且 ∀p\|n 有 p−1 \| n−1）判定 Carmichael 数并展示验证过程。
欧拉函数	计算 φ(n) 并展示由质因数分解出发的推导过程：φ(n) = n·∏(1 − 1/p)。
数论函数	一次输出 φ、τ、σ、μ、λ、ω、Ω、rad，并判断平方无关/完全数/亲和数；「σₖ(n)」算因数 k 次幂和（k ≤ 100）；「φ 反问题」找出所有满足 φ(n) = m 的 n（m ≤ 10¹²），无解时说明该数是 nontotient。
阶乘勒让德	勒让德公式 v_p(n!) = Σ⌊n/pⁱ⌋（展示每一项）；n! 完整素因子分解（n ≤ 10⁶）；任意 b 进制末尾零（b ≤ 10⁶）；n! 十进制位数（n ≤ 10¹²，大 n 用 Stirling 级数）；n! 精确值（n ≤ 5000）。
扩展欧几里得	输入 a、b（可为负），输出 gcd、lcm，以及裴蜀恒等式 ax + by = gcd(a,b) 的一组解，并列出完整的辗转相除步骤表。
不定方程	解 ax + by = c：有解 ⟺ gcd(a,b) \| c，给出特解、通解 x = x₀ + (b/d)t，并可枚举全部非负整数解（自动求 t 的取值区间）。
线性同余	解 ax ≡ b (mod m)。先算 d = gcd(a, m)：d 整除 b 才有解，此时在模 m 意义下恰有 d 个解，形如 x ≡ x₀ + k·(m/d)。「求 a⁻¹」直接给出 a 模 m 的乘法逆元（存在当且仅当 gcd(a, m) = 1）。
中国剩余定理	逐行输入 x ≡ aᵢ (mod mᵢ)，可增删方程（2~8 个）。模数不必两两互素：工具会逐步合并并检查相容性，若某对方程矛盾会指出具体位置。输出最小非负解与通解 x ≡ x₀ (mod M)，M 为各模数的最小公倍数。
平方同余	解 x² ≡ a (mod m)，m 任意（≤ 24 位）：自动分解 m，奇素数幂模用 Tonelli-Shanks + Hensel 逐位提升，模 2ᵏ 用特判公式（a ≡ 1 mod 8 时有 4 解），正确处理 a 含 p 因子（v_p 为奇数则无解）与 a ≡ 0 的情形，最后 CRT 组合。超过 256 个解时只报数量。
二项同余	解 xᵏ ≡ a (mod p)，p 素数 ≤ 10¹²。取原根 g，用 BSGS 求 ind_g(a)，化为线性同余 k·t ≡ ind (mod p−1)：有解 ⟺ gcd(k, p−1) \| ind，解数即 gcd(k, p−1)。
模幂运算	计算 bᵉ mod m（快速幂）。e 为负时等价于求 (b⁻¹)^\|e\|，要求 b 与 m 互素，否则给出提示。
原根与阶	「求乘法阶」：最小 k 使 aᵏ ≡ 1 (mod n)，须 gcd(a, n) = 1，阶必整除 φ(n)。「找最小原根」：对素数 p 求最小原根 g（对 p−1 的每个质因子 q 验证 g^((p−1)/q) ≢ 1）；勾选「列出全部」可枚举所有原根 gᵏ（k 与 p−1 互素，最多 500 个），原根总数为 φ(p−1)。
勒让德/雅可比	(a/p) = 1 表示 a 是模 p 二次剩余，−1 为非剩余，0 表示 p \| a，用欧拉判别法 a^((p−1)/2) 计算。雅可比符号 (a/n) 支持任意正奇数 n（含合数），按互反律递推，并给出中间步骤。「解 x² ≡ a」用 Tonelli-Shanks 算法给出两个平方根（若存在）。
离散对数	BSGS 算法求最小 x ≥ 0 使 aˣ ≡ b (mod p)，复杂度 O(√p)，故限制 p ≤ 10¹²。无解时如实报告。
佩尔方程	x² − D·y² = 1（D 非平方，≤ 9 位）：用 √D 的循环连分数求最小解，展示周期、验证等式、负佩尔（= −1）的可解性，以及由 (x₁+y₁√D)ᵏ 递推的前几组解。D 为平方数时明确拒绝。
连分数	三种模式：p/q 展开为有限连分数；√n 展开为循环连分数并展示循环节（n ≤ 9 位）；连分数串（如 `3;7,15,1,292`）还原为最简分数。均列出渐进分数（即最佳逼近）与误差，√n 模式还指出与佩尔方程的联系。
组合计算	C(n, k) 精确值（n ≤ 10⁴）、卡特兰数 Cₙ（n ≤ 5000）、分拆数 p(n)（n ≤ 5000，精确）；卢卡斯定理求 C(n,k) mod p：n、k 可达百位，p 为 ≤ 10⁶ 的素数，展示 p 进制分解过程。
进制转换	2~36 进制互转，字符集 0-9a-z 不区分大小写，支持任意长度整数。

质数判断 · 质因数分解

欧拉函数 φ(n)

扩展欧几里得 · GCD · LCM

线性同余方程 ax ≡ b (mod m)

中国剩余定理（CRT）

模幂运算 bᵉ mod m

原根与乘法阶

勒让德 / 雅可比符号 · 二次剩余

离散对数 aˣ ≡ b (mod p)

素数表 · π(n) · 第 n 个素数

进制转换

平方同余 x² ≡ a (mod m)

二项同余 xᵏ ≡ a (mod p)

一次不定方程 ax + by = c

佩尔方程 x² − D·y² = 1

连分数与最佳逼近

梅森素数 M_p = 2^p − 1

素数分布 · 孪生素数 · 哥德巴赫

伪素数与 Carmichael 数

数论函数全家桶

阶乘与勒让德公式

组合数论

数论工具箱 · 使用说明

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